نوشته ۱۳۴ (کسی راز مرا داند که از این رو به آن رویم بگرداند)

مسلماً آشیل با توجه به سرعت نسبی بیش­تر به خرگوش خواهد رسید ولی اگر بخواهیم استدلال زنون را رد کنیم، باید از روش خودش در استدلال استفاده کنیم. از پیش فرض سرعت بیش­تر آشیل استفاده می­کنیم، چون اگر کم­تر یا مساوی باشد هرگز نخواهد رسید و حتی استدلال زنون هم بی­فایده است. با توجه به این قضیه، سرعت آشیل را دو برابر سرعت لاک­پشت فرض می­کنیم.

اگر فاصله­ی اولیه بین آن­ها L باشد، زمانی که آشیل این فاصله را طی می­کند، لاک­پشت L/2 این فاصله را طی می­کند. اگر آشیل L/2 را طی کند، لاک­پشت L/4 جلو می­رود و به همین ترتیب این امر تا بی­نهایت ادامه دارد (نکته­یی که زنون به عنوان وزنه­یی برای استدلال خودش می­دانست). اگر مسافتی که آشیل رفته را محاسبه کنیم به عبارت زیر می­رسیم:

L+L/2+L/4+…….

می­توانیم عبارت بالا را به صورت زیر بنویسیم:

Lim _nà∞  L (1+1/2+1/4+.....+1/2ⁿ)

این عبارت در واقع همان مفهوم را بیان می­کند و اگر بتوانیم مقدارش را محاسبه کنیم، به جواب خواهیم رسید. با توجه به اتحاد جبری زیر می­توانیم صورت و مخرج را در (1-1/2) ضرب کنیم و خواهیم داشت:

(1-a)(1+a+a²+…..aⁿ) = (1-aⁿ⁺¹)

 2 Lim _nà∞  L (1-1/2ⁿ⁺¹)

ضریب 2 همان 1-1/2 در مخرج است.

با توجه به مفهوم حد می­دانیم که اگر به سمت مقداری میل کنیم، جواب­مان به آن نزدیک خواهد شد و رمز استدلال در همین است، اگر n به سمت بی­نهایت میل کند، کسر به سمت صفر میل­ می­کند و جواب­ش همان صفر است. بنابراین جواب ما برابر با 2L خواهد شد، یعنی اگر آشیل 2L را طی کند، به لاک­پشت خواهد رسید. اگر سرعت آشیل را بیش­تر از مقدار فوق بگیریم با طی مسافت کم­تری به لاک­پشت می­رسد.

در به دست آوردن مساحت دایره هم از این روش استفاده شده، ارشمیدس اولین بار از این نکته استفاده کرد که می­توان مساحت دایره را با چند ضلعی محاطی در آن به دست آورد. اگر یک n ضلعی منتظم در دایره رسم کنید می­بینید که مساحت یک n ضلعی منتظم در دایره برابر با مساحت n مثلث متساوی­الساقین با ساقی به اندازه­ی شعاع دایره و زاویه­­ بین 360/n است. در این حالت اندازه­ی قاعده­ی مثلث برابر با 2r sin 180/n و ارتفاع آن برابر با r cos 180/n می­شود. مساحت یک مثلث با توجه به فرمول حاصل­ضرب قاعده در نصف ارتفاع به صورت زیر است:

r² sin 180/n cos 180/n

اگر از فرمول نصف قوس استفاده کنیم، خواهیم داشت:

r² sin 360/n  0.5

مساحت n ضلعی منتظم n برابر همین مقدار است: اگر این عبارت را به r² تقسیم کنیم، عبارتی بر حسب n داریم که با افزایش مقدار n به سمت جواب واقعی نزدیک می­شود. اگر علاقه­مند هستید خودتان با ماشین حساب به عبارت 0.5 n sin 360/n مقدار بدهید و ببینید به چه مقداری می­رسید. این مسئله هم با توجه به مفهوم حد در بی­نهایت حل می­شود. جواب قطعی این مسئله عدد پی است که مقدار دقیق­ش را نمی­دانیم! اسم این مقدار را که حد در بی­نهایت عبارت بالا است، پی گذاشته­ایم. هنوز کامپیوترهای غول­آسا تا میلیون­ها رقم اعشار جلو رفته­اند و به جواب قطعی یا حتی جوابی که متناوب باشد نرسیده­اند.

منظورم از گذاشتن این سوال­ها بحث درباره­ی مفهوم حد در بی­نهایت است. در زندگی روزمره مفاهیمی را استفاده می­کنیم که حد در بی­نهایت رفتارمان است و اعمال­مان را با آن­ها می­سنجیم. صداقت، شجاعت، عدالت و مفاهیمی از این دست در واقع یک نوع حد در بی­نهایت هستند که می­توان به آن­ها میل کرد و نزدیک شد ولی نکته­ی مهم دیگری که در این قضیه به چشم می­خورد این است که مفاهیم فوق مانند عدد پی مقداری نامشخص دارند و ما در عمل و به میزان دقتی که نیاز داریم تا مقدار اعشار مشخصی استفاده می کنیم و در واقع به صورت فیزیکی و عملی به مسئله نگاه می شود. این مفاهیم به دلیل ماهیت نامشخص که دارند هر کس می­تواند تعبیر خود را به جای آن مقدار در بی­نهایت بدهد. ایدئولوژیست­ها و رهبران دنیا با همین مفاهیم در بی­نهایت مردم را به جایی می­کشانند که به منافع­ خودشان برسند. مردم چشم می­درانند ولی تا جایی که می­بینند افقی خالی است و آن­ها می­گویند آن­ته را ببین که دو سمت جاده به هم می­رسند، آن­جا بهشت است!