مسلماً آشیل با توجه به سرعت نسبی بیشتر به خرگوش خواهد رسید ولی اگر بخواهیم استدلال زنون را رد کنیم، باید از روش خودش در استدلال استفاده کنیم. از پیش فرض سرعت بیشتر آشیل استفاده میکنیم، چون اگر کمتر یا مساوی باشد هرگز نخواهد رسید و حتی استدلال زنون هم بیفایده است. با توجه به این قضیه، سرعت آشیل را دو برابر سرعت لاکپشت فرض میکنیم.
اگر فاصلهی اولیه بین آنها L باشد، زمانی که آشیل این فاصله را طی میکند، لاکپشت L/2 این فاصله را طی میکند. اگر آشیل L/2 را طی کند، لاکپشت L/4 جلو میرود و به همین ترتیب این امر تا بینهایت ادامه دارد (نکتهیی که زنون به عنوان وزنهیی برای استدلال خودش میدانست). اگر مسافتی که آشیل رفته را محاسبه کنیم به عبارت زیر میرسیم:
L+L/2+L/4+…….
میتوانیم عبارت بالا را به صورت زیر بنویسیم:
Lim nà∞ L (1+1/2+1/4+.....+1/2n)
این عبارت در واقع همان مفهوم را بیان میکند و اگر بتوانیم مقدارش را محاسبه کنیم، به جواب خواهیم رسید. با توجه به اتحاد جبری زیر میتوانیم صورت و مخرج را در (1-1/2) ضرب کنیم و خواهیم داشت:
(1-a)(1+a+a2+…..an) = (1-an+1)
2 Lim nà∞ L (1-1/2n+1)
ضریب 2 همان 1-1/2 در مخرج است.
با توجه به مفهوم حد میدانیم که اگر به سمت مقداری میل کنیم، جوابمان به آن نزدیک خواهد شد و رمز استدلال در همین است، اگر n به سمت بینهایت میل کند، کسر به سمت صفر میل میکند و جوابش همان صفر است. بنابراین جواب ما برابر با 2L خواهد شد، یعنی اگر آشیل 2L را طی کند، به لاکپشت خواهد رسید. اگر سرعت آشیل را بیشتر از مقدار فوق بگیریم با طی مسافت کمتری به لاکپشت میرسد.
در به دست آوردن مساحت دایره هم از این روش استفاده شده، ارشمیدس اولین بار از این نکته استفاده کرد که میتوان مساحت دایره را با چند ضلعی محاطی در آن به دست آورد. اگر یک n ضلعی منتظم در دایره رسم کنید میبینید که مساحت یک n ضلعی منتظم در دایره برابر با مساحت n مثلث متساویالساقین با ساقی به اندازهی شعاع دایره و زاویه بین 360/n است. در این حالت اندازهی قاعدهی مثلث برابر با 2r sin 180/n و ارتفاع آن برابر با r cos 180/n میشود. مساحت یک مثلث با توجه به فرمول حاصلضرب قاعده در نصف ارتفاع به صورت زیر است:
r2 sin 180/n cos 180/n
اگر از فرمول نصف قوس استفاده کنیم، خواهیم داشت:
r2 sin 360/n 0.5
مساحت n ضلعی منتظم n برابر همین مقدار است: اگر این عبارت را به r2 تقسیم کنیم، عبارتی بر حسب n داریم که با افزایش مقدار n به سمت جواب واقعی نزدیک میشود. اگر علاقهمند هستید خودتان با ماشین حساب به عبارت 0.5 n sin 360/n مقدار بدهید و ببینید به چه مقداری میرسید. این مسئله هم با توجه به مفهوم حد در بینهایت حل میشود. جواب قطعی این مسئله عدد پی است که مقدار دقیقش را نمیدانیم! اسم این مقدار را که حد در بینهایت عبارت بالا است، پی گذاشتهایم. هنوز کامپیوترهای غولآسا تا میلیونها رقم اعشار جلو رفتهاند و به جواب قطعی یا حتی جوابی که متناوب باشد نرسیدهاند.
منظورم از گذاشتن این سوالها بحث دربارهی مفهوم حد در بینهایت است. در زندگی روزمره مفاهیمی را استفاده میکنیم که حد در بینهایت رفتارمان است و اعمالمان را با آنها میسنجیم. صداقت، شجاعت، عدالت و مفاهیمی از این دست در واقع یک نوع حد در بینهایت هستند که میتوان به آنها میل کرد و نزدیک شد ولی نکتهی مهم دیگری که در این قضیه به چشم میخورد این است که مفاهیم فوق مانند عدد پی مقداری نامشخص دارند و ما در عمل و به میزان دقتی که نیاز داریم تا مقدار اعشار مشخصی استفاده می کنیم و در واقع به صورت فیزیکی و عملی به مسئله نگاه می شود. این مفاهیم به دلیل ماهیت نامشخص که دارند هر کس میتواند تعبیر خود را به جای آن مقدار در بینهایت بدهد. ایدئولوژیستها و رهبران دنیا با همین مفاهیم در بینهایت مردم را به جایی میکشانند که به منافع خودشان برسند. مردم چشم میدرانند ولی تا جایی که میبینند افقی خالی است و آنها میگویند آنته را ببین که دو سمت جاده به هم میرسند، آنجا بهشت است!